Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101542 / 97909
↖ ↑ ↗
← S 66.077116°
E 98.893433°		 ← 123.83 m → S 66.077116°
E 98.896179°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.078230°
E 98.893433°		 ← 123.82 m →
15 336 m²		 S 66.078230°
E 98.896179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774707794189453 y=0.746990203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774707794189453 × 217)
    floor (0.774707794189453 × 131072)
    floor (101542.5)     		tx = 101542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746990203857422 × 217)
    floor (0.746990203857422 × 131072)
    floor (97909.5)     		ty = 97909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101542 / 97909 ti = "17/101542/97909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101542/97909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101542 ÷ 217
    101542 ÷ 131072     		x = 0.774703979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97909 ÷ 217
    97909 ÷ 131072     		y = 0.746986389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774703979492188 × 2 - 1) × π
    0.549407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72601601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746986389160156 × 2 - 1) × π
    -0.493972778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.55186125140008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72601601} λ = 1.72601601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55186125140008))-π/2
    2×atan(0.21185329440105)-π/2
    2×0.208766547148152-π/2
    0.417533094296304-1.57079632675     		φ = -1.15326323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72601601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15326323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.077116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101542 KachelY 97909 1.72601601 -1.15326323 98.893433 -66.077116
    Oben rechts KachelX + 1 101543 KachelY 97909 1.72606394 -1.15326323 98.896179 -66.077116
    Unten links KachelX 101542 KachelY + 1 97910 1.72601601 -1.15328267 98.893433 -66.078230
    Unten rechts KachelX + 1 101543 KachelY + 1 97910 1.72606394 -1.15328267 98.896179 -66.078230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15326323--1.15328267) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15326323--1.15328267) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72601601-1.72606394) × cos(-1.15326323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405506712575604 × 6371000     		do = 123.826352930789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72601601-1.72606394) × cos(-1.15328267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405488942549209 × 6371000     		du = 123.820926639456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15326323)-sin(-1.15328267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405506712575604-0.405488942549209)×R²
    abs(1.72606394-1.72601601)×1.77700263950809e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77700263950809e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77700263950809e-05×40589641000000     		ar = 15335.8351526729m²