Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101541 / 97981
↖ ↑ ↗
← S 66.157180°
E 98.890686°		 ← 123.46 m → S 66.157180°
E 98.893433°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.158290°
E 98.890686°		 ← 123.46 m →
15 236 m²		 S 66.158290°
E 98.893433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774700164794922 y=0.747539520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774700164794922 × 217)
    floor (0.774700164794922 × 131072)
    floor (101541.5)     		tx = 101541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747539520263672 × 217)
    floor (0.747539520263672 × 131072)
    floor (97981.5)     		ty = 97981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101541 / 97981 ti = "17/101541/97981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101541/97981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101541 ÷ 217
    101541 ÷ 131072     		x = 0.774696350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97981 ÷ 217
    97981 ÷ 131072     		y = 0.747535705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774696350097656 × 2 - 1) × π
    0.549392700195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72596807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747535705566406 × 2 - 1) × π
    -0.495071411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55531270817272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72596807} λ = 1.72596807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55531270817272))-π/2
    2×atan(0.211123352319676)-π/2
    2×0.20806785568289-π/2
    0.41613571136578-1.57079632675     		φ = -1.15466062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72596807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.890686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15466062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.157180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101541 KachelY 97981 1.72596807 -1.15466062 98.890686 -66.157180
    Oben rechts KachelX + 1 101542 KachelY 97981 1.72601601 -1.15466062 98.893433 -66.157180
    Unten links KachelX 101541 KachelY + 1 97982 1.72596807 -1.15467999 98.890686 -66.158290
    Unten rechts KachelX + 1 101542 KachelY + 1 97982 1.72601601 -1.15467999 98.893433 -66.158290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15466062--1.15467999) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15466062--1.15467999) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72596807-1.72601601) × cos(-1.15466062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404228973962322 × 6371000     		do = 123.461933501802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72596807-1.72601601) × cos(-1.15467999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404211256964422 × 6371000     		du = 123.456522274608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15466062)-sin(-1.15467999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404228973962322-0.404211256964422)×R²
    abs(1.72601601-1.72596807)×1.77169978994307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77169978994307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77169978994307e-05×40589641000000     		ar = 15235.6428110386m²