Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101541 / 96314
↖ ↑ ↗
← S 64.237433°
E 98.890686°		 ← 132.75 m → S 64.237433°
E 98.893433°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.238627°
E 98.890686°		 ← 132.75 m →
17 617 m²		 S 64.238627°
E 98.893433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774700164794922 y=0.734821319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774700164794922 × 217)
    floor (0.774700164794922 × 131072)
    floor (101541.5)     		tx = 101541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734821319580078 × 217)
    floor (0.734821319580078 × 131072)
    floor (96314.5)     		ty = 96314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101541 / 96314 ti = "17/101541/96314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101541/96314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101541 ÷ 217
    101541 ÷ 131072     		x = 0.774696350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96314 ÷ 217
    96314 ÷ 131072     		y = 0.734817504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774696350097656 × 2 - 1) × π
    0.549392700195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72596807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734817504882812 × 2 - 1) × π
    -0.469635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47540189650609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72596807} λ = 1.72596807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47540189650609))-π/2
    2×atan(0.228686800147942)-π/2
    2×0.224820808941277-π/2
    0.449641617882553-1.57079632675     		φ = -1.12115471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72596807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.890686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12115471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.237433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101541 KachelY 96314 1.72596807 -1.12115471 98.890686 -64.237433
    Oben rechts KachelX + 1 101542 KachelY 96314 1.72601601 -1.12115471 98.893433 -64.237433
    Unten links KachelX 101541 KachelY + 1 96315 1.72596807 -1.12117554 98.890686 -64.238627
    Unten rechts KachelX + 1 101542 KachelY + 1 96315 1.72601601 -1.12117554 98.893433 -64.238627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12115471--1.12117554) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12115471--1.12117554) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72596807-1.72601601) × cos(-1.12115471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434642801066406 × 6371000     		do = 132.751099151293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72596807-1.72601601) × cos(-1.12117554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434624041413106 × 6371000     		du = 132.745369470301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12115471)-sin(-1.12117554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434642801066406-0.434624041413106)×R²
    abs(1.72601601-1.72596807)×1.87596533002266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87596533002266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87596533002266e-05×40589641000000     		ar = 17616.7433870459m²