Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101540 / 98342
↖ ↑ ↗
← S 66.554821°
E 98.887939°		 ← 121.52 m → S 66.554821°
E 98.890686°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
S 66.555914°
E 98.887939°		 ← 121.51 m →
14 764 m²		 S 66.555914°
E 98.890686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774692535400391 y=0.750293731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774692535400391 × 217)
    floor (0.774692535400391 × 131072)
    floor (101540.5)     		tx = 101540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750293731689453 × 217)
    floor (0.750293731689453 × 131072)
    floor (98342.5)     		ty = 98342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101540 / 98342 ti = "17/101540/98342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101540/98342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101540 ÷ 217
    101540 ÷ 131072     		x = 0.774688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98342 ÷ 217
    98342 ÷ 131072     		y = 0.750289916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774688720703125 × 2 - 1) × π
    0.54937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72592013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750289916992188 × 2 - 1) × π
    -0.500579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57261792893556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72592013} λ = 1.72592013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57261792893556))-π/2
    2×atan(0.207501247156731)-π/2
    2×0.204597783237498-π/2
    0.409195566474997-1.57079632675     		φ = -1.16160076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72592013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.887939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16160076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.554821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101540 KachelY 98342 1.72592013 -1.16160076 98.887939 -66.554821
    Oben rechts KachelX + 1 101541 KachelY 98342 1.72596807 -1.16160076 98.890686 -66.554821
    Unten links KachelX 101540 KachelY + 1 98343 1.72592013 -1.16161983 98.887939 -66.555914
    Unten rechts KachelX + 1 101541 KachelY + 1 98343 1.72596807 -1.16161983 98.890686 -66.555914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16160076--1.16161983) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16160076--1.16161983) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72592013-1.72596807) × cos(-1.16160076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397871436648438 × 6371000     		do = 121.520177963133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72592013-1.72596807) × cos(-1.16161983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397853940972779 × 6371000     		du = 121.514834333448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16160076)-sin(-1.16161983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397871436648438-0.397853940972779)×R²
    abs(1.72596807-1.72592013)×1.74956756593403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74956756593403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74956756593403e-05×40589641000000     		ar = 14763.7657642359m²