Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101539 / 97980
↖ ↑ ↗
← S 66.156070°
E 98.885193°		 ← 123.44 m → S 66.156070°
E 98.887939°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.157180°
E 98.885193°		 ← 123.44 m →
15 241 m²		 S 66.157180°
E 98.887939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774684906005859 y=0.747531890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774684906005859 × 217)
    floor (0.774684906005859 × 131072)
    floor (101539.5)     		tx = 101539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747531890869141 × 217)
    floor (0.747531890869141 × 131072)
    floor (97980.5)     		ty = 97980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101539 / 97980 ti = "17/101539/97980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101539/97980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101539 ÷ 217
    101539 ÷ 131072     		x = 0.774681091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97980 ÷ 217
    97980 ÷ 131072     		y = 0.747528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774681091308594 × 2 - 1) × π
    0.549362182617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72587220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.49505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5552647712731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72587220} λ = 1.72587220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5552647712731))-π/2
    2×atan(0.211133473161202)-π/2
    2×0.208077544637273-π/2
    0.416155089274545-1.57079632675     		φ = -1.15464124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72587220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.885193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15464124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.156070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101539 KachelY 97980 1.72587220 -1.15464124 98.885193 -66.156070
    Oben rechts KachelX + 1 101540 KachelY 97980 1.72592013 -1.15464124 98.887939 -66.156070
    Unten links KachelX 101539 KachelY + 1 97981 1.72587220 -1.15466062 98.885193 -66.157180
    Unten rechts KachelX + 1 101540 KachelY + 1 97981 1.72592013 -1.15466062 98.887939 -66.157180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15464124--1.15466062) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15464124--1.15466062) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72587220-1.72592013) × cos(-1.15464124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404246699955056 × 6371000     		do = 123.441592919152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72587220-1.72592013) × cos(-1.15466062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404228973962322 × 6371000     		du = 123.436180074027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15464124)-sin(-1.15466062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404246699955056-0.404228973962322)×R²
    abs(1.72592013-1.72587220)×1.77259927340856e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77259927340856e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77259927340856e-05×40589641000000     		ar = 15240.9968476696m²