Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101538 / 97908
↖ ↑ ↗
← S 66.076002°
E 98.882446°		 ← 123.86 m → S 66.076002°
E 98.885193°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.077116°
E 98.882446°		 ← 123.85 m →
15 340 m²		 S 66.077116°
E 98.885193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774677276611328 y=0.746982574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774677276611328 × 217)
    floor (0.774677276611328 × 131072)
    floor (101538.5)     		tx = 101538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746982574462891 × 217)
    floor (0.746982574462891 × 131072)
    floor (97908.5)     		ty = 97908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101538 / 97908 ti = "17/101538/97908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101538/97908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101538 ÷ 217
    101538 ÷ 131072     		x = 0.774673461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97908 ÷ 217
    97908 ÷ 131072     		y = 0.746978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774673461914062 × 2 - 1) × π
    0.549346923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72582426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.49395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55181331450046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72582426} λ = 1.72582426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55181331450046))-π/2
    2×atan(0.211863450234576)-π/2
    2×0.208776266728333-π/2
    0.417552533456666-1.57079632675     		φ = -1.15324379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72582426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15324379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.076002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101538 KachelY 97908 1.72582426 -1.15324379 98.882446 -66.076002
    Oben rechts KachelX + 1 101539 KachelY 97908 1.72587220 -1.15324379 98.885193 -66.076002
    Unten links KachelX 101538 KachelY + 1 97909 1.72582426 -1.15326323 98.882446 -66.077116
    Unten rechts KachelX + 1 101539 KachelY + 1 97909 1.72587220 -1.15326323 98.885193 -66.077116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15324379--1.15326323) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15324379--1.15326323) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72582426-1.72587220) × cos(-1.15324379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405524482448753 × 6371000     		do = 123.857615139946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72582426-1.72587220) × cos(-1.15326323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405506712575604 × 6371000     		du = 123.85218776329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15324379)-sin(-1.15326323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405524482448753-0.405506712575604)×R²
    abs(1.72587220-1.72582426)×1.77698731485543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77698731485543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77698731485543e-05×40589641000000     		ar = 15339.7069802287m²