Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101533 / 96377
↖ ↑ ↗
← S 64.312539°
E 98.868714°		 ← 132.36 m → S 64.312539°
E 98.871460°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
S 64.313730°
E 98.868714°		 ← 132.36 m →
17 523 m²		 S 64.313730°
E 98.871460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774639129638672 y=0.735301971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774639129638672 × 217)
    floor (0.774639129638672 × 131072)
    floor (101533.5)     		tx = 101533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735301971435547 × 217)
    floor (0.735301971435547 × 131072)
    floor (96377.5)     		ty = 96377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101533 / 96377 ti = "17/101533/96377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101533/96377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101533 ÷ 217
    101533 ÷ 131072     		x = 0.774635314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96377 ÷ 217
    96377 ÷ 131072     		y = 0.735298156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774635314941406 × 2 - 1) × π
    0.549270629882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72558458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735298156738281 × 2 - 1) × π
    -0.470596313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47842192118215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72558458} λ = 1.72558458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47842192118215))-π/2
    2×atan(0.22799720219395)-π/2
    2×0.224165384864998-π/2
    0.448330769729996-1.57079632675     		φ = -1.12246556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72558458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.868714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12246556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.312539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101533 KachelY 96377 1.72558458 -1.12246556 98.868714 -64.312539
    Oben rechts KachelX + 1 101534 KachelY 96377 1.72563251 -1.12246556 98.871460 -64.312539
    Unten links KachelX 101533 KachelY + 1 96378 1.72558458 -1.12248634 98.868714 -64.313730
    Unten rechts KachelX + 1 101534 KachelY + 1 96378 1.72563251 -1.12248634 98.871460 -64.313730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12246556--1.12248634) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12246556--1.12248634) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72558458-1.72563251) × cos(-1.12246556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433461872625866 × 6371000     		do = 132.362797352717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72558458-1.72563251) × cos(-1.12248634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433443146180065 × 6371000     		du = 132.357079007212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12246556)-sin(-1.12248634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433461872625866-0.433443146180065)×R²
    abs(1.72563251-1.72558458)×1.87264458010317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87264458010317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87264458010317e-05×40589641000000     		ar = 17523.0501532323m²