Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101531 / 97946
↖ ↑ ↗
← S 66.118291°
E 98.863220°		 ← 123.65 m → S 66.118291°
E 98.865967°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
S 66.119403°
E 98.863220°		 ← 123.65 m →
15 291 m²		 S 66.119403°
E 98.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774623870849609 y=0.747272491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774623870849609 × 217)
    floor (0.774623870849609 × 131072)
    floor (101531.5)     		tx = 101531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747272491455078 × 217)
    floor (0.747272491455078 × 131072)
    floor (97946.5)     		ty = 97946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101531 / 97946 ti = "17/101531/97946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101531/97946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101531 ÷ 217
    101531 ÷ 131072     		x = 0.774620056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97946 ÷ 217
    97946 ÷ 131072     		y = 0.747268676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774620056152344 × 2 - 1) × π
    0.549240112304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72548870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747268676757812 × 2 - 1) × π
    -0.494537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55363491668602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72548870} λ = 1.72548870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55363491668602))-π/2
    2×atan(0.211477870603557)-π/2
    2×0.208407221955974-π/2
    0.416814443911949-1.57079632675     		φ = -1.15398188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72548870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.863220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15398188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.118291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101531 KachelY 97946 1.72548870 -1.15398188 98.863220 -66.118291
    Oben rechts KachelX + 1 101532 KachelY 97946 1.72553664 -1.15398188 98.865967 -66.118291
    Unten links KachelX 101531 KachelY + 1 97947 1.72548870 -1.15400129 98.863220 -66.119403
    Unten rechts KachelX + 1 101532 KachelY + 1 97947 1.72553664 -1.15400129 98.865967 -66.119403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15398188--1.15400129) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dl = 123.661110001045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15398188--1.15400129) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dr = 123.661110001045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72548870-1.72553664) × cos(-1.15398188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404849695654999 × 6371000     		do = 123.651517884122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72548870-1.72553664) × cos(-1.15400129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404831947399897 × 6371000     		du = 123.646097110173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15398188)-sin(-1.15400129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404849695654999-0.404831947399897)×R²
    abs(1.72553664-1.72548870)×1.77482551027563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77482551027563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77482551027563e-05×40589641000000     		ar = 15290.5487859424m²