Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101530 / 98330
↖ ↑ ↗
← S 66.541704°
E 98.860473°		 ← 121.58 m → S 66.541704°
E 98.863220°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.542798°
E 98.860473°		 ← 121.58 m →
14 779 m²		 S 66.542798°
E 98.863220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774616241455078 y=0.750202178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774616241455078 × 217)
    floor (0.774616241455078 × 131072)
    floor (101530.5)     		tx = 101530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750202178955078 × 217)
    floor (0.750202178955078 × 131072)
    floor (98330.5)     		ty = 98330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101530 / 98330 ti = "17/101530/98330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101530/98330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101530 ÷ 217
    101530 ÷ 131072     		x = 0.774612426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98330 ÷ 217
    98330 ÷ 131072     		y = 0.750198364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774612426757812 × 2 - 1) × π
    0.549224853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72544076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750198364257812 × 2 - 1) × π
    -0.500396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57204268614012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72544076} λ = 1.72544076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57204268614012))-π/2
    2×atan(0.207620645092312)-π/2
    2×0.20471224977742-π/2
    0.409424499554839-1.57079632675     		φ = -1.16137183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72544076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.860473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16137183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.541704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101530 KachelY 98330 1.72544076 -1.16137183 98.860473 -66.541704
    Oben rechts KachelX + 1 101531 KachelY 98330 1.72548870 -1.16137183 98.863220 -66.541704
    Unten links KachelX 101530 KachelY + 1 98331 1.72544076 -1.16139091 98.860473 -66.542798
    Unten rechts KachelX + 1 101531 KachelY + 1 98331 1.72548870 -1.16139091 98.863220 -66.542798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16137183--1.16139091) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16137183--1.16139091) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72544076-1.72548870) × cos(-1.16137183) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398081456030072 × 6371000     		do = 121.584323288746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72544076-1.72548870) × cos(-1.16139091) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398063952918242 × 6371000     		du = 121.578977387863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16137183)-sin(-1.16139091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398081456030072-0.398063952918242)×R²
    abs(1.72548870-1.72544076)×1.75031118302971e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75031118302971e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75031118302971e-05×40589641000000     		ar = 14779.3049278339m²