Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101529 / 98326
↖ ↑ ↗
← S 66.537330°
E 98.857727°		 ← 121.58 m → S 66.537330°
E 98.860473°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.538424°
E 98.857727°		 ← 121.57 m →
14 787 m²		 S 66.538424°
E 98.860473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774608612060547 y=0.750171661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774608612060547 × 217)
    floor (0.774608612060547 × 131072)
    floor (101529.5)     		tx = 101529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750171661376953 × 217)
    floor (0.750171661376953 × 131072)
    floor (98326.5)     		ty = 98326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101529 / 98326 ti = "17/101529/98326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101529/98326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101529 ÷ 217
    101529 ÷ 131072     		x = 0.774604797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98326 ÷ 217
    98326 ÷ 131072     		y = 0.750167846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774604797363281 × 2 - 1) × π
    0.549209594726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72539283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750167846679688 × 2 - 1) × π
    -0.500335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57185093854164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72539283} λ = 1.72539283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57185093854164))-π/2
    2×atan(0.207660459669456)-π/2
    2×0.204750418716075-π/2
    0.409500837432151-1.57079632675     		φ = -1.16129549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72539283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.857727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16129549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.537330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101529 KachelY 98326 1.72539283 -1.16129549 98.857727 -66.537330
    Oben rechts KachelX + 1 101530 KachelY 98326 1.72544076 -1.16129549 98.860473 -66.537330
    Unten links KachelX 101529 KachelY + 1 98327 1.72539283 -1.16131458 98.857727 -66.538424
    Unten rechts KachelX + 1 101530 KachelY + 1 98327 1.72544076 -1.16131458 98.860473 -66.538424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16129549--1.16131458) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16129549--1.16131458) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72539283-1.72544076) × cos(-1.16129549) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.398151485374522 × 6371000     		do = 121.580345820991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72539283-1.72544076) × cos(-1.16131458) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39813397366929 × 6371000     		du = 121.574998411132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16129549)-sin(-1.16131458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398151485374522-0.39813397366929)×R²
    abs(1.72544076-1.72539283)×1.75117052323426e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.75117052323426e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.75117052323426e-05×40589641000000     		ar = 14786.5670538946m²