Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101528 / 98327
↖ ↑ ↗
← S 66.538424°
E 98.854980°		 ← 121.60 m → S 66.538424°
E 98.857727°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.539517°
E 98.854980°		 ← 121.60 m →
14 781 m²		 S 66.539517°
E 98.857727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774600982666016 y=0.750179290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774600982666016 × 217)
    floor (0.774600982666016 × 131072)
    floor (101528.5)     		tx = 101528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750179290771484 × 217)
    floor (0.750179290771484 × 131072)
    floor (98327.5)     		ty = 98327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101528 / 98327 ti = "17/101528/98327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101528/98327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101528 ÷ 217
    101528 ÷ 131072     		x = 0.77459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98327 ÷ 217
    98327 ÷ 131072     		y = 0.750175476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77459716796875 × 2 - 1) × π
    0.5491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72534489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750175476074219 × 2 - 1) × π
    -0.500350952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57189887544126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72534489} λ = 1.72534489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57189887544126))-π/2
    2×atan(0.207650505309438)-π/2
    2×0.204740875851986-π/2
    0.409481751703972-1.57079632675     		φ = -1.16131458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72534489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16131458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.538424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101528 KachelY 98327 1.72534489 -1.16131458 98.854980 -66.538424
    Oben rechts KachelX + 1 101529 KachelY 98327 1.72539283 -1.16131458 98.857727 -66.538424
    Unten links KachelX 101528 KachelY + 1 98328 1.72534489 -1.16133366 98.854980 -66.539517
    Unten rechts KachelX + 1 101529 KachelY + 1 98328 1.72539283 -1.16133366 98.857727 -66.539517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16131458--1.16133366) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16131458--1.16133366) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72534489-1.72539283) × cos(-1.16131458) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39813397366929 × 6371000     		do = 121.600363527567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72534489-1.72539283) × cos(-1.16133366) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398116470992315 × 6371000     		du = 121.5950177595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16131458)-sin(-1.16133366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39813397366929-0.398116470992315)×R²
    abs(1.72539283-1.72534489)×1.75026769748121e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75026769748121e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75026769748121e-05×40589641000000     		ar = 14781.2547661018m²