Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101526 / 96468
↖ ↑ ↗
← S 64.420666°
E 98.849487°		 ← 131.84 m → S 64.420666°
E 98.852234°		 →
↑
131.82 m
↓
↑
131.82 m
↓
S 64.421851°
E 98.849487°		 ← 131.84 m →
17 379 m²		 S 64.421851°
E 98.852234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774585723876953 y=0.735996246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774585723876953 × 217)
    floor (0.774585723876953 × 131072)
    floor (101526.5)     		tx = 101526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735996246337891 × 217)
    floor (0.735996246337891 × 131072)
    floor (96468.5)     		ty = 96468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101526 / 96468 ti = "17/101526/96468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101526/96468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101526 ÷ 217
    101526 ÷ 131072     		x = 0.774581909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96468 ÷ 217
    96468 ÷ 131072     		y = 0.735992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774581909179688 × 2 - 1) × π
    0.549163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72524902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.47198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48278417904758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72524902} λ = 1.72524902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48278417904758))-π/2
    2×atan(0.227004785767314)-π/2
    2×0.223221805078625-π/2
    0.446443610157251-1.57079632675     		φ = -1.12435272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72524902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.849487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12435272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.420666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101526 KachelY 96468 1.72524902 -1.12435272 98.849487 -64.420666
    Oben rechts KachelX + 1 101527 KachelY 96468 1.72529695 -1.12435272 98.852234 -64.420666
    Unten links KachelX 101526 KachelY + 1 96469 1.72524902 -1.12437341 98.849487 -64.421851
    Unten rechts KachelX + 1 101527 KachelY + 1 96469 1.72529695 -1.12437341 98.852234 -64.421851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12435272--1.12437341) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dl = 131.815989999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12435272--1.12437341) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dr = 131.815989999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72524902-1.72529695) × cos(-1.12435272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431760446200882 × 6371000     		do = 131.843246325688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72524902-1.72529695) × cos(-1.12437341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431741783970271 × 6371000     		du = 131.837547589064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12435272)-sin(-1.12437341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431760446200882-0.431741783970271)×R²
    abs(1.72529695-1.72524902)×1.86622306112549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86622306112549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86622306112549e-05×40589641000000     		ar = 17378.6724476098m²