Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101525 / 96471
↖ ↑ ↗
← S 64.424222°
E 98.846741°		 ← 131.85 m → S 64.424222°
E 98.849487°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.425408°
E 98.846741°		 ← 131.85 m →
17 388 m²		 S 64.425408°
E 98.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774578094482422 y=0.736019134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774578094482422 × 217)
    floor (0.774578094482422 × 131072)
    floor (101525.5)     		tx = 101525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736019134521484 × 217)
    floor (0.736019134521484 × 131072)
    floor (96471.5)     		ty = 96471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101525 / 96471 ti = "17/101525/96471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101525/96471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101525 ÷ 217
    101525 ÷ 131072     		x = 0.774574279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96471 ÷ 217
    96471 ÷ 131072     		y = 0.736015319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774574279785156 × 2 - 1) × π
    0.549148559570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72520108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736015319824219 × 2 - 1) × π
    -0.472030639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48292798974644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72520108} λ = 1.72520108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48292798974644))-π/2
    2×atan(0.226972142397718)-π/2
    2×0.223190761206153-π/2
    0.446381522412307-1.57079632675     		φ = -1.12441480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72520108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.846741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12441480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.424222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101525 KachelY 96471 1.72520108 -1.12441480 98.846741 -64.424222
    Oben rechts KachelX + 1 101526 KachelY 96471 1.72524902 -1.12441480 98.849487 -64.424222
    Unten links KachelX 101525 KachelY + 1 96472 1.72520108 -1.12443550 98.846741 -64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 101526 KachelY + 1 96472 1.72524902 -1.12443550 98.849487 -64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12441480--1.12443550) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dl = 131.879699999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12441480--1.12443550) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dr = 131.879699999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72520108-1.72524902) × cos(-1.12441480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43170444993445 × 6371000     		do = 131.853651082436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72520108-1.72524902) × cos(-1.12443550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 131.847948232463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12441480)-sin(-1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43170444993445-0.431685778129078)×R²
    abs(1.72524902-1.72520108)×1.86718053720725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86718053720725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86718053720725e-05×40589641000000     		ar = 17388.4439041868m²