Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101525 / 96406
↖ ↑ ↗
← S 64.347043°
E 98.846741°		 ← 132.22 m → S 64.347043°
E 98.849487°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.348232°
E 98.846741°		 ← 132.22 m →
17 479 m²		 S 64.348232°
E 98.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774578094482422 y=0.735523223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774578094482422 × 217)
    floor (0.774578094482422 × 131072)
    floor (101525.5)     		tx = 101525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735523223876953 × 217)
    floor (0.735523223876953 × 131072)
    floor (96406.5)     		ty = 96406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101525 / 96406 ti = "17/101525/96406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101525/96406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101525 ÷ 217
    101525 ÷ 131072     		x = 0.774574279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96406 ÷ 217
    96406 ÷ 131072     		y = 0.735519409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774574279785156 × 2 - 1) × π
    0.549148559570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72520108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735519409179688 × 2 - 1) × π
    -0.471038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47981209127113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72520108} λ = 1.72520108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47981209127113))-π/2
    2×atan(0.227680467511639)-π/2
    2×0.223864280664733-π/2
    0.447728561329466-1.57079632675     		φ = -1.12306777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72520108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.846741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12306777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.347043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101525 KachelY 96406 1.72520108 -1.12306777 98.846741 -64.347043
    Oben rechts KachelX + 1 101526 KachelY 96406 1.72524902 -1.12306777 98.849487 -64.347043
    Unten links KachelX 101525 KachelY + 1 96407 1.72520108 -1.12308852 98.846741 -64.348232
    Unten rechts KachelX + 1 101526 KachelY + 1 96407 1.72524902 -1.12308852 98.849487 -64.348232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12306777--1.12308852) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12306777--1.12308852) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72520108-1.72524902) × cos(-1.12306777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432919099325919 × 6371000     		do = 132.224636271666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72520108-1.72524902) × cos(-1.12308852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432900394502576 × 6371000     		du = 132.218923337154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12306777)-sin(-1.12308852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432919099325919-0.432900394502576)×R²
    abs(1.72524902-1.72520108)×1.8704823343707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8704823343707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8704823343707e-05×40589641000000     		ar = 17479.4879027079m²