Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101524 / 96404
↖ ↑ ↗
← S 64.344665°
E 98.843994°		 ← 132.24 m → S 64.344665°
E 98.846741°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.345854°
E 98.843994°		 ← 132.23 m →
17 481 m²		 S 64.345854°
E 98.846741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774570465087891 y=0.735507965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774570465087891 × 217)
    floor (0.774570465087891 × 131072)
    floor (101524.5)     		tx = 101524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735507965087891 × 217)
    floor (0.735507965087891 × 131072)
    floor (96404.5)     		ty = 96404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101524 / 96404 ti = "17/101524/96404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101524/96404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101524 ÷ 217
    101524 ÷ 131072     		x = 0.774566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96404 ÷ 217
    96404 ÷ 131072     		y = 0.735504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774566650390625 × 2 - 1) × π
    0.54913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72515314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735504150390625 × 2 - 1) × π
    -0.47100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47971621747189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72515314} λ = 1.72515314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47971621747189))-π/2
    2×atan(0.2277022971495)-π/2
    2×0.223885034361125-π/2
    0.447770068722249-1.57079632675     		φ = -1.12302626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72515314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12302626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.344665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101524 KachelY 96404 1.72515314 -1.12302626 98.843994 -64.344665
    Oben rechts KachelX + 1 101525 KachelY 96404 1.72520108 -1.12302626 98.846741 -64.344665
    Unten links KachelX 101524 KachelY + 1 96405 1.72515314 -1.12304701 98.843994 -64.345854
    Unten rechts KachelX + 1 101525 KachelY + 1 96405 1.72520108 -1.12304701 98.846741 -64.345854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12302626--1.12304701) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12302626--1.12304701) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72515314-1.72520108) × cos(-1.12302626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43295651742755 × 6371000     		do = 132.236064723046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72515314-1.72520108) × cos(-1.12304701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432937812977102 × 6371000     		du = 132.230351902426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12302626)-sin(-1.12304701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43295651742755-0.432937812977102)×R²
    abs(1.72520108-1.72515314)×1.87044504483258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87044504483258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87044504483258e-05×40589641000000     		ar = 17480.998731506m²