Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101522 / 97938
↖ ↑ ↗
← S 66.109394°
E 98.838501°		 ← 123.69 m → S 66.109394°
E 98.841248°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
S 66.110507°
E 98.838501°		 ← 123.69 m →
15 296 m²		 S 66.110507°
E 98.841248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774555206298828 y=0.747211456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774555206298828 × 217)
    floor (0.774555206298828 × 131072)
    floor (101522.5)     		tx = 101522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747211456298828 × 217)
    floor (0.747211456298828 × 131072)
    floor (97938.5)     		ty = 97938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101522 / 97938 ti = "17/101522/97938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101522/97938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101522 ÷ 217
    101522 ÷ 131072     		x = 0.774551391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97938 ÷ 217
    97938 ÷ 131072     		y = 0.747207641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774551391601562 × 2 - 1) × π
    0.549102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72505727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.494415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55325142148906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72505727} λ = 1.72505727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55325142148906))-π/2
    2×atan(0.211558986904059)-π/2
    2×0.208484864524382-π/2
    0.416969729048763-1.57079632675     		φ = -1.15382660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72505727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15382660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.109394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101522 KachelY 97938 1.72505727 -1.15382660 98.838501 -66.109394
    Oben rechts KachelX + 1 101523 KachelY 97938 1.72510521 -1.15382660 98.841248 -66.109394
    Unten links KachelX 101522 KachelY + 1 97939 1.72505727 -1.15384601 98.838501 -66.110507
    Unten rechts KachelX + 1 101523 KachelY + 1 97939 1.72510521 -1.15384601 98.841248 -66.110507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15382660--1.15384601) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dl = 123.661110001045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15382660--1.15384601) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dr = 123.661110001045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.15382660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40499167620431 × 6371000     		do = 123.694882398461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.15384601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404973929169605 × 6371000     		du = 123.689461997253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15382660)-sin(-1.15384601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40499167620431-0.404973929169605)×R²
    abs(1.72510521-1.72505727)×1.7747034704696e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7747034704696e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7747034704696e-05×40589641000000     		ar = 15295.9113129989m²