Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101522 / 97422
↖ ↑ ↗
← S 65.528895°
E 98.838501°		 ← 126.52 m → S 65.528895°
E 98.841248°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.530033°
E 98.838501°		 ← 126.51 m →
16 008 m²		 S 65.530033°
E 98.841248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774555206298828 y=0.743274688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774555206298828 × 217)
    floor (0.774555206298828 × 131072)
    floor (101522.5)     		tx = 101522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743274688720703 × 217)
    floor (0.743274688720703 × 131072)
    floor (97422.5)     		ty = 97422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101522 / 97422 ti = "17/101522/97422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101522/97422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101522 ÷ 217
    101522 ÷ 131072     		x = 0.774551391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97422 ÷ 217
    97422 ÷ 131072     		y = 0.743270874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774551391601562 × 2 - 1) × π
    0.549102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72505727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743270874023438 × 2 - 1) × π
    -0.486541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52851598128511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72505727} λ = 1.72505727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52851598128511))-π/2
    2×atan(0.216857248856239)-π/2
    2×0.213550671553629-π/2
    0.427101343107258-1.57079632675     		φ = -1.14369498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72505727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14369498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.528895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101522 KachelY 97422 1.72505727 -1.14369498 98.838501 -65.528895
    Oben rechts KachelX + 1 101523 KachelY 97422 1.72510521 -1.14369498 98.841248 -65.528895
    Unten links KachelX 101522 KachelY + 1 97423 1.72505727 -1.14371484 98.838501 -65.530033
    Unten rechts KachelX + 1 101523 KachelY + 1 97423 1.72510521 -1.14371484 98.841248 -65.530033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14369498--1.14371484) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dl = 126.528059999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14369498--1.14371484) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dr = 126.528059999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.14369498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414234278322532 × 6371000     		do = 126.517810989942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.14371484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414216202258819 × 6371000     		du = 126.512290094807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14369498)-sin(-1.14371484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414234278322532-0.414216202258819)×R²
    abs(1.72510521-1.72505727)×1.80760637131239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80760637131239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80760637131239e-05×40589641000000     		ar = 16007.7039063106m²