Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101522 / 96370
↖ ↑ ↗
← S 64.304204°
E 98.838501°		 ← 132.43 m → S 64.304204°
E 98.841248°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
S 64.305395°
E 98.838501°		 ← 132.42 m →
17 540 m²		 S 64.305395°
E 98.841248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774555206298828 y=0.735248565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774555206298828 × 217)
    floor (0.774555206298828 × 131072)
    floor (101522.5)     		tx = 101522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735248565673828 × 217)
    floor (0.735248565673828 × 131072)
    floor (96370.5)     		ty = 96370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101522 / 96370 ti = "17/101522/96370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101522/96370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101522 ÷ 217
    101522 ÷ 131072     		x = 0.774551391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96370 ÷ 217
    96370 ÷ 131072     		y = 0.735244750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774551391601562 × 2 - 1) × π
    0.549102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72505727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735244750976562 × 2 - 1) × π
    -0.470489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47808636288481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72505727} λ = 1.72505727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47808636288481))-π/2
    2×atan(0.228073721384524)-π/2
    2×0.224238121726258-π/2
    0.448476243452517-1.57079632675     		φ = -1.12232008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72505727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12232008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.304204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101522 KachelY 96370 1.72505727 -1.12232008 98.838501 -64.304204
    Oben rechts KachelX + 1 101523 KachelY 96370 1.72510521 -1.12232008 98.841248 -64.304204
    Unten links KachelX 101522 KachelY + 1 96371 1.72505727 -1.12234087 98.838501 -64.305395
    Unten rechts KachelX + 1 101523 KachelY + 1 96371 1.72510521 -1.12234087 98.841248 -64.305395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12232008--1.12234087) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12232008--1.12234087) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.12232008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433592970527367 × 6371000     		do = 132.430453882033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72505727-1.72510521) × cos(-1.12234087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433574236380945 × 6371000     		du = 132.424731991498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12232008)-sin(-1.12234087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433592970527367-0.433574236380945)×R²
    abs(1.72510521-1.72505727)×1.87341464221169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87341464221169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87341464221169e-05×40589641000000     		ar = 17540.4438864227m²