Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101520 / 96432
↖ ↑ ↗
← S 64.377941°
E 98.833008°		 ← 132.05 m → S 64.377941°
E 98.835754°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.379128°
E 98.833008°		 ← 132.04 m →
17 431 m²		 S 64.379128°
E 98.835754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774539947509766 y=0.735721588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774539947509766 × 217)
    floor (0.774539947509766 × 131072)
    floor (101520.5)     		tx = 101520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735721588134766 × 217)
    floor (0.735721588134766 × 131072)
    floor (96432.5)     		ty = 96432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101520 / 96432 ti = "17/101520/96432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101520/96432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101520 ÷ 217
    101520 ÷ 131072     		x = 0.7745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96432 ÷ 217
    96432 ÷ 131072     		y = 0.7357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48105845066125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72496140} λ = 1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48105845066125))-π/2
    2×atan(0.227396872590317)-π/2
    2×0.223594645779962-π/2
    0.447189291559924-1.57079632675     		φ = -1.12360704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12360704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.377941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101520 KachelY 96432 1.72496140 -1.12360704 98.833008 -64.377941
    Oben rechts KachelX + 1 101521 KachelY 96432 1.72500933 -1.12360704 98.835754 -64.377941
    Unten links KachelX 101520 KachelY + 1 96433 1.72496140 -1.12362776 98.833008 -64.379128
    Unten rechts KachelX + 1 101521 KachelY + 1 96433 1.72500933 -1.12362776 98.835754 -64.379128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12360704--1.12362776) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12360704--1.12362776) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72496140-1.72500933) × cos(-1.12360704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.432432920746171 × 6371000     		do = 132.048594517961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72496140-1.72500933) × cos(-1.12362776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.432414238131604 × 6371000     		du = 132.042889556851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12360704)-sin(-1.12362776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432432920746171-0.432414238131604)×R²
    abs(1.72500933-1.72496140)×1.86826145676111e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86826145676111e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86826145676111e-05×40589641000000     		ar = 17430.9781151274m²