Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10152 / 14364
↖ ↑ ↗
← S 79.286313°
E 43.066406°		 ← 454.20 m → S 79.286313°
E 43.088379°		 →
↑
454.12 m
↓
↑
454.12 m
↓
S 79.290397°
E 43.066406°		 ← 454.03 m →
206 223 m²		 S 79.290397°
E 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619659423828125 y=0.876739501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619659423828125 × 214)
    floor (0.619659423828125 × 16384)
    floor (10152.5)     		tx = 10152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876739501953125 × 214)
    floor (0.876739501953125 × 16384)
    floor (14364.5)     		ty = 14364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10152 / 14364 ti = "14/10152/14364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10152/14364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10152 ÷ 214
    10152 ÷ 16384     		x = 0.61962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14364 ÷ 214
    14364 ÷ 16384     		y = 0.876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75165059} λ = 0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36693235563989))-π/2
    2×atan(0.0937679321983871)-π/2
    2×0.0934945570932897-π/2
    0.186989114186579-1.57079632675     		φ = -1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10152 KachelY 14364 0.75165059 -1.38380721 43.066406 -79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 10153 KachelY 14364 0.75203408 -1.38380721 43.088379 -79.286313
    Unten links KachelX 10152 KachelY + 1 14365 0.75165059 -1.38387849 43.066406 -79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 10153 KachelY + 1 14365 0.75203408 -1.38387849 43.088379 -79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38380721--1.38387849) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dl = 454.124880000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38380721--1.38387849) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dr = 454.124880000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75165059-0.75203408) × cos(-1.38380721) × R
    0.000383490000000042 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 454.196911537011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75165059-0.75203408) × cos(-1.38387849) × R
    0.000383490000000042 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 454.025793784536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38380721)-sin(-1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.185831305394351)×R²
    abs(0.75203408-0.75165059)×7.00379488432767e-05×R²
    0.000383490000000042×7.00379488432767e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.00379488432767e-05×40589641000000     		ar = 206223.263621881m²