Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101518 / 97948
↖ ↑ ↗
← S 66.120516°
E 98.827515°		 ← 123.64 m → S 66.120516°
E 98.830261°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.121627°
E 98.827515°		 ← 123.64 m →
15 281 m²		 S 66.121627°
E 98.830261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774524688720703 y=0.747287750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774524688720703 × 217)
    floor (0.774524688720703 × 131072)
    floor (101518.5)     		tx = 101518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747287750244141 × 217)
    floor (0.747287750244141 × 131072)
    floor (97948.5)     		ty = 97948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101518 / 97948 ti = "17/101518/97948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101518/97948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101518 ÷ 217
    101518 ÷ 131072     		x = 0.774520874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97948 ÷ 217
    97948 ÷ 131072     		y = 0.747283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774520874023438 × 2 - 1) × π
    0.549041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72486552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.49456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55373079048526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72486552} λ = 1.72486552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55373079048526))-π/2
    2×atan(0.211457596388546)-π/2
    2×0.208387815567531-π/2
    0.416775631135061-1.57079632675     		φ = -1.15402070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72486552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.827515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15402070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.120516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101518 KachelY 97948 1.72486552 -1.15402070 98.827515 -66.120516
    Oben rechts KachelX + 1 101519 KachelY 97948 1.72491346 -1.15402070 98.830261 -66.120516
    Unten links KachelX 101518 KachelY + 1 97949 1.72486552 -1.15404010 98.827515 -66.121627
    Unten rechts KachelX + 1 101519 KachelY + 1 97949 1.72491346 -1.15404010 98.830261 -66.121627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15402070--1.15404010) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15402070--1.15404010) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72486552-1.72491346) × cos(-1.15402070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404814198992274 × 6371000     		do = 123.640676289642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72486552-1.72491346) × cos(-1.15404010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404796459576207 × 6371000     		du = 123.635258215362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15402070)-sin(-1.15404010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404814198992274-0.404796459576207)×R²
    abs(1.72491346-1.72486552)×1.77394160670863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77394160670863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77394160670863e-05×40589641000000     		ar = 15281.3312941832m²