Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101517 / 97941
↖ ↑ ↗
← S 66.112731°
E 98.824768°		 ← 123.65 m → S 66.112731°
E 98.827515°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
S 66.113843°
E 98.824768°		 ← 123.65 m →
15 291 m²		 S 66.113843°
E 98.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774517059326172 y=0.747234344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774517059326172 × 217)
    floor (0.774517059326172 × 131072)
    floor (101517.5)     		tx = 101517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747234344482422 × 217)
    floor (0.747234344482422 × 131072)
    floor (97941.5)     		ty = 97941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101517 / 97941 ti = "17/101517/97941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101517/97941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101517 ÷ 217
    101517 ÷ 131072     		x = 0.774513244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97941 ÷ 217
    97941 ÷ 131072     		y = 0.747230529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774513244628906 × 2 - 1) × π
    0.549026489257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72481759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747230529785156 × 2 - 1) × π
    -0.494461059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.55339523218792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72481759} λ = 1.72481759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55339523218792))-π/2
    2×atan(0.211528564645878)-π/2
    2×0.208455745370723-π/2
    0.416911490741446-1.57079632675     		φ = -1.15388484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72481759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.824768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15388484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.112731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101517 KachelY 97941 1.72481759 -1.15388484 98.824768 -66.112731
    Oben rechts KachelX + 1 101518 KachelY 97941 1.72486552 -1.15388484 98.827515 -66.112731
    Unten links KachelX 101517 KachelY + 1 97942 1.72481759 -1.15390425 98.824768 -66.113843
    Unten rechts KachelX + 1 101518 KachelY + 1 97942 1.72486552 -1.15390425 98.827515 -66.113843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15388484--1.15390425) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dl = 123.661110001045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15388484--1.15390425) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dr = 123.661110001045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72481759-1.72486552) × cos(-1.15388484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404938425499044 × 6371000     		do = 123.652819635467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72481759-1.72486552) × cos(-1.15390425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404920678006561 × 6371000     		du = 123.647400225136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15388484)-sin(-1.15390425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404938425499044-0.404920678006561)×R²
    abs(1.72486552-1.72481759)×1.77474924827337e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77474924827337e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77474924827337e-05×40589641000000     		ar = 15290.7098462696m²