Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101517 / 97897
↖ ↑ ↗
← S 66.063747°
E 98.824768°		 ← 123.89 m → S 66.063747°
E 98.827515°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.064861°
E 98.824768°		 ← 123.89 m →
15 344 m²		 S 66.064861°
E 98.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774517059326172 y=0.746898651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774517059326172 × 217)
    floor (0.774517059326172 × 131072)
    floor (101517.5)     		tx = 101517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746898651123047 × 217)
    floor (0.746898651123047 × 131072)
    floor (97897.5)     		ty = 97897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101517 / 97897 ti = "17/101517/97897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101517/97897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101517 ÷ 217
    101517 ÷ 131072     		x = 0.774513244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97897 ÷ 217
    97897 ÷ 131072     		y = 0.746894836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774513244628906 × 2 - 1) × π
    0.549026489257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72481759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746894836425781 × 2 - 1) × π
    -0.493789672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55128600860464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72481759} λ = 1.72481759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55128600860464))-π/2
    2×atan(0.211975196540647)-π/2
    2×0.208883210223379-π/2
    0.417766420446757-1.57079632675     		φ = -1.15302991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72481759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.824768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15302991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.063747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101517 KachelY 97897 1.72481759 -1.15302991 98.824768 -66.063747
    Oben rechts KachelX + 1 101518 KachelY 97897 1.72486552 -1.15302991 98.827515 -66.063747
    Unten links KachelX 101517 KachelY + 1 97898 1.72481759 -1.15304935 98.824768 -66.064861
    Unten rechts KachelX + 1 101518 KachelY + 1 97898 1.72486552 -1.15304935 98.827515 -66.064861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15302991--1.15304935) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15302991--1.15304935) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72481759-1.72486552) × cos(-1.15302991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405719977497095 × 6371000     		do = 123.891475940143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72481759-1.72486552) × cos(-1.15304935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405702209310417 × 6371000     		du = 123.88605021059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15302991)-sin(-1.15304935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405719977497095-0.405702209310417)×R²
    abs(1.72486552-1.72481759)×1.77681866783685e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77681866783685e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77681866783685e-05×40589641000000     		ar = 15343.9008182821m²