Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101515 / 97887
↖ ↑ ↗
← S 66.052601°
E 98.819275°		 ← 123.97 m → S 66.052601°
E 98.822022°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.053716°
E 98.819275°		 ← 123.97 m →
15 370 m²		 S 66.053716°
E 98.822022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774501800537109 y=0.746822357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774501800537109 × 217)
    floor (0.774501800537109 × 131072)
    floor (101515.5)     		tx = 101515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746822357177734 × 217)
    floor (0.746822357177734 × 131072)
    floor (97887.5)     		ty = 97887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101515 / 97887 ti = "17/101515/97887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101515/97887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101515 ÷ 217
    101515 ÷ 131072     		x = 0.774497985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97887 ÷ 217
    97887 ÷ 131072     		y = 0.746818542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774497985839844 × 2 - 1) × π
    0.548995971679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72472171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746818542480469 × 2 - 1) × π
    -0.493637084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55080663960844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72472171} λ = 1.72472171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55080663960844))-π/2
    2×atan(0.212076835237106)-π/2
    2×0.208980476319367-π/2
    0.417960952638735-1.57079632675     		φ = -1.15283537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72472171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.819275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15283537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.052601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101515 KachelY 97887 1.72472171 -1.15283537 98.819275 -66.052601
    Oben rechts KachelX + 1 101516 KachelY 97887 1.72476965 -1.15283537 98.822022 -66.052601
    Unten links KachelX 101515 KachelY + 1 97888 1.72472171 -1.15285483 98.819275 -66.053716
    Unten rechts KachelX + 1 101516 KachelY + 1 97888 1.72476965 -1.15285483 98.822022 -66.053716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15283537--1.15285483) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dl = 123.979660000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15283537--1.15285483) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dr = 123.979660000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72472171-1.72476965) × cos(-1.15283537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405897778878372 × 6371000     		do = 123.971629478202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72472171-1.72476965) × cos(-1.15285483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405879993947844 × 6371000     		du = 123.966197502634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15283537)-sin(-1.15285483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405897778878372-0.405879993947844)×R²
    abs(1.72476965-1.72472171)×1.77849305281752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77849305281752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77849305281752e-05×40589641000000     		ar = 15369.6237456421m²