Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101514 / 97888
↖ ↑ ↗
← S 66.053716°
E 98.816528°		 ← 123.97 m → S 66.053716°
E 98.819275°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.054831°
E 98.816528°		 ← 123.96 m →
15 369 m²		 S 66.054831°
E 98.819275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774494171142578 y=0.746829986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774494171142578 × 217)
    floor (0.774494171142578 × 131072)
    floor (101514.5)     		tx = 101514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746829986572266 × 217)
    floor (0.746829986572266 × 131072)
    floor (97888.5)     		ty = 97888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101514 / 97888 ti = "17/101514/97888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101514/97888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101514 ÷ 217
    101514 ÷ 131072     		x = 0.774490356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97888 ÷ 217
    97888 ÷ 131072     		y = 0.746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774490356445312 × 2 - 1) × π
    0.548980712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72467377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.49365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55085457650806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72467377} λ = 1.72467377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55085457650806))-π/2
    2×atan(0.21206666917481)-π/2
    2×0.208970747792025-π/2
    0.41794149558405-1.57079632675     		φ = -1.15285483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72467377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15285483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.053716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101514 KachelY 97888 1.72467377 -1.15285483 98.816528 -66.053716
    Oben rechts KachelX + 1 101515 KachelY 97888 1.72472171 -1.15285483 98.819275 -66.053716
    Unten links KachelX 101514 KachelY + 1 97889 1.72467377 -1.15287429 98.816528 -66.054831
    Unten rechts KachelX + 1 101515 KachelY + 1 97889 1.72472171 -1.15287429 98.819275 -66.054831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15285483--1.15287429) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dl = 123.979659999109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15285483--1.15287429) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dr = 123.979659999109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72467377-1.72472171) × cos(-1.15285483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405879993947844 × 6371000     		do = 123.966197502634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72467377-1.72472171) × cos(-1.15287429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405862208863613 × 6371000     		du = 123.960765480122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15285483)-sin(-1.15287429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405879993947844-0.405862208863613)×R²
    abs(1.72472171-1.72467377)×1.77850842313365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77850842313365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77850842313365e-05×40589641000000     		ar = 15368.9502882107m²