Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10151 / 14356
↖ ↑ ↗
← S 79.253585°
E 43.044434°		 ← 455.58 m → S 79.253585°
E 43.066406°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
S 79.257682°
E 43.044434°		 ← 455.41 m →
207 490 m²		 S 79.257682°
E 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619598388671875 y=0.876251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619598388671875 × 214)
    floor (0.619598388671875 × 16384)
    floor (10151.5)     		tx = 10151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876251220703125 × 214)
    floor (0.876251220703125 × 16384)
    floor (14356.5)     		ty = 14356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10151 / 14356 ti = "14/10151/14356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10151/14356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10151 ÷ 214
    10151 ÷ 16384     		x = 0.61956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14356 ÷ 214
    14356 ÷ 16384     		y = 0.876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61956787109375 × 2 - 1) × π
    0.2391357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75126709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75126709} λ = 0.75126709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36386439406421))-π/2
    2×atan(0.0940560503531271)-π/2
    2×0.093780156413739-π/2
    0.187560312827478-1.57079632675     		φ = -1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75126709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10151 KachelY 14356 0.75126709 -1.38323601 43.044434 -79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 10152 KachelY 14356 0.75165059 -1.38323601 43.066406 -79.253585
    Unten links KachelX 10151 KachelY + 1 14357 0.75126709 -1.38330751 43.044434 -79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 10152 KachelY + 1 14357 0.75165059 -1.38330751 43.066406 -79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38323601--1.38330751) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38323601--1.38330751) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75126709-0.75165059) × cos(-1.38323601) × R
    0.000383499999999981 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 455.57995428735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75126709-0.75165059) × cos(-1.38330751) × R
    0.000383499999999981 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 455.408322488947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38323601)-sin(-1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186392309550045)×R²
    abs(0.75165059-0.75126709)×7.02465144283848e-05×R²
    0.000383499999999981×7.02465144283848e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.02465144283848e-05×40589641000000     		ar = 207489.650718771m²