Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101509 / 97925
↖ ↑ ↗
← S 66.094930°
E 98.802795°		 ← 123.77 m → S 66.094930°
E 98.805542°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.096043°
E 98.802795°		 ← 123.76 m →
15 320 m²		 S 66.096043°
E 98.805542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774456024169922 y=0.747112274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774456024169922 × 217)
    floor (0.774456024169922 × 131072)
    floor (101509.5)     		tx = 101509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747112274169922 × 217)
    floor (0.747112274169922 × 131072)
    floor (97925.5)     		ty = 97925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101509 / 97925 ti = "17/101509/97925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101509/97925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101509 ÷ 217
    101509 ÷ 131072     		x = 0.774452209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97925 ÷ 217
    97925 ÷ 131072     		y = 0.747108459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774452209472656 × 2 - 1) × π
    0.548904418945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72443409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747108459472656 × 2 - 1) × π
    -0.494216918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.552628241794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72443409} λ = 1.72443409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.552628241794))-π/2
    2×atan(0.211690867257316)-π/2
    2×0.208611091776162-π/2
    0.417222183552323-1.57079632675     		φ = -1.15357414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72443409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.802795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15357414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.094930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101509 KachelY 97925 1.72443409 -1.15357414 98.802795 -66.094930
    Oben rechts KachelX + 1 101510 KachelY 97925 1.72448203 -1.15357414 98.805542 -66.094930
    Unten links KachelX 101509 KachelY + 1 97926 1.72443409 -1.15359357 98.802795 -66.096043
    Unten rechts KachelX + 1 101510 KachelY + 1 97926 1.72448203 -1.15359357 98.805542 -66.096043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15357414--1.15359357) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15357414--1.15359357) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72443409-1.72448203) × cos(-1.15357414) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405222492616626 × 6371000     		do = 123.76537967257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72443409-1.72448203) × cos(-1.15359357) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405204729282484 × 6371000     		du = 123.759954293094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15357414)-sin(-1.15359357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405222492616626-0.405204729282484)×R²
    abs(1.72448203-1.72443409)×1.77633341419958e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77633341419958e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77633341419958e-05×40589641000000     		ar = 15320.3986152421m²