Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101509 / 95876
↖ ↑ ↗
← S 63.709589°
E 98.802795°		 ← 135.28 m → S 63.709589°
E 98.805542°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.710805°
E 98.802795°		 ← 135.27 m →
18 297 m²		 S 63.710805°
E 98.805542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774456024169922 y=0.731479644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774456024169922 × 217)
    floor (0.774456024169922 × 131072)
    floor (101509.5)     		tx = 101509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731479644775391 × 217)
    floor (0.731479644775391 × 131072)
    floor (95876.5)     		ty = 95876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101509 / 95876 ti = "17/101509/95876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101509/95876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101509 ÷ 217
    101509 ÷ 131072     		x = 0.774452209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95876 ÷ 217
    95876 ÷ 131072     		y = 0.731475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774452209472656 × 2 - 1) × π
    0.548904418945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72443409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.46295166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4544055344725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72443409} λ = 1.72443409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4544055344725))-π/2
    2×atan(0.23353915362036)-π/2
    2×0.22942711749161-π/2
    0.458854234983219-1.57079632675     		φ = -1.11194209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72443409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.802795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11194209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.709589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101509 KachelY 95876 1.72443409 -1.11194209 98.802795 -63.709589
    Oben rechts KachelX + 1 101510 KachelY 95876 1.72448203 -1.11194209 98.805542 -63.709589
    Unten links KachelX 101509 KachelY + 1 95877 1.72443409 -1.11196332 98.802795 -63.710805
    Unten rechts KachelX + 1 101510 KachelY + 1 95877 1.72448203 -1.11196332 98.805542 -63.710805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11194209--1.11196332) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11194209--1.11196332) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72443409-1.72448203) × cos(-1.11194209) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.44292115180706 × 6371000     		do = 135.279520552861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72443409-1.72448203) × cos(-1.11196332) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.442902117726373 × 6371000     		du = 135.273707054683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11194209)-sin(-1.11196332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44292115180706-0.442902117726373)×R²
    abs(1.72448203-1.72443409)×1.90340806864309e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.90340806864309e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.90340806864309e-05×40589641000000     		ar = 18297.0183187811m²