Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101507 / 97923
↖ ↑ ↗
← S 66.092704°
E 98.797302°		 ← 123.75 m → S 66.092704°
E 98.800049°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.093817°
E 98.797302°		 ← 123.74 m →
15 319 m²		 S 66.093817°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774440765380859 y=0.747097015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774440765380859 × 217)
    floor (0.774440765380859 × 131072)
    floor (101507.5)     		tx = 101507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747097015380859 × 217)
    floor (0.747097015380859 × 131072)
    floor (97923.5)     		ty = 97923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101507 / 97923 ti = "17/101507/97923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101507/97923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101507 ÷ 217
    101507 ÷ 131072     		x = 0.774436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97923 ÷ 217
    97923 ÷ 131072     		y = 0.747093200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774436950683594 × 2 - 1) × π
    0.548873901367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72433822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747093200683594 × 2 - 1) × π
    -0.494186401367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.55253236799476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72433822} λ = 1.72433822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55253236799476))-π/2
    2×atan(0.211711163837964)-π/2
    2×0.208630517737293-π/2
    0.417261035474586-1.57079632675     		φ = -1.15353529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72433822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.797302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15353529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.092704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101507 KachelY 97923 1.72433822 -1.15353529 98.797302 -66.092704
    Oben rechts KachelX + 1 101508 KachelY 97923 1.72438615 -1.15353529 98.800049 -66.092704
    Unten links KachelX 101507 KachelY + 1 97924 1.72433822 -1.15355472 98.797302 -66.093817
    Unten rechts KachelX + 1 101508 KachelY + 1 97924 1.72438615 -1.15355472 98.800049 -66.093817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15353529--1.15355472) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15353529--1.15355472) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.15353529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405258009683935 × 6371000     		do = 123.750408510922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.15355472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405240246655684 × 6371000     		du = 123.744984356556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15353529)-sin(-1.15355472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405258009683935-0.405240246655684)×R²
    abs(1.72438615-1.72433822)×1.77630282508501e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77630282508501e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77630282508501e-05×40589641000000     		ar = 15318.5454328666m²