Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101507 / 95881
↖ ↑ ↗
← S 63.715671°
E 98.797302°		 ← 135.22 m → S 63.715671°
E 98.800049°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.716887°
E 98.797302°		 ← 135.22 m →
18 289 m²		 S 63.716887°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774440765380859 y=0.731517791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774440765380859 × 217)
    floor (0.774440765380859 × 131072)
    floor (101507.5)     		tx = 101507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731517791748047 × 217)
    floor (0.731517791748047 × 131072)
    floor (95881.5)     		ty = 95881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101507 / 95881 ti = "17/101507/95881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101507/95881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101507 ÷ 217
    101507 ÷ 131072     		x = 0.774436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95881 ÷ 217
    95881 ÷ 131072     		y = 0.731513977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774436950683594 × 2 - 1) × π
    0.548873901367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72433822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731513977050781 × 2 - 1) × π
    -0.463027954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.4546452189706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72433822} λ = 1.72433822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4546452189706))-π/2
    2×atan(0.233483184613258)-π/2
    2×0.229374042527808-π/2
    0.458748085055615-1.57079632675     		φ = -1.11204824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72433822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.797302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11204824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.715671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101507 KachelY 95881 1.72433822 -1.11204824 98.797302 -63.715671
    Oben rechts KachelX + 1 101508 KachelY 95881 1.72438615 -1.11204824 98.800049 -63.715671
    Unten links KachelX 101507 KachelY + 1 95882 1.72433822 -1.11206947 98.797302 -63.716887
    Unten rechts KachelX + 1 101508 KachelY + 1 95882 1.72438615 -1.11206947 98.800049 -63.716887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11204824--1.11206947) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11204824--1.11206947) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.11204824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442825979407496 × 6371000     		do = 135.222240008694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.11206947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442806944328787 × 6371000     		du = 135.216427418418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11204824)-sin(-1.11206947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442825979407496-0.442806944328787)×R²
    abs(1.72438615-1.72433822)×1.90350787090954e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90350787090954e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90350787090954e-05×40589641000000     		ar = 18289.2708237746m²