Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101507 / 95875
↖ ↑ ↗
← S 63.708372°
E 98.797302°		 ← 135.26 m → S 63.708372°
E 98.800049°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.709589°
E 98.797302°		 ← 135.25 m →
18 294 m²		 S 63.709589°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774440765380859 y=0.731472015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774440765380859 × 217)
    floor (0.774440765380859 × 131072)
    floor (101507.5)     		tx = 101507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731472015380859 × 217)
    floor (0.731472015380859 × 131072)
    floor (95875.5)     		ty = 95875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101507 / 95875 ti = "17/101507/95875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101507/95875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101507 ÷ 217
    101507 ÷ 131072     		x = 0.774436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95875 ÷ 217
    95875 ÷ 131072     		y = 0.731468200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774436950683594 × 2 - 1) × π
    0.548873901367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72433822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731468200683594 × 2 - 1) × π
    -0.462936401367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45435759757288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72433822} λ = 1.72433822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45435759757288))-π/2
    2×atan(0.233550349031659)-π/2
    2×0.229437733853102-π/2
    0.458875467706204-1.57079632675     		φ = -1.11192086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72433822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.797302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11192086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.708372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101507 KachelY 95875 1.72433822 -1.11192086 98.797302 -63.708372
    Oben rechts KachelX + 1 101508 KachelY 95875 1.72438615 -1.11192086 98.800049 -63.708372
    Unten links KachelX 101507 KachelY + 1 95876 1.72433822 -1.11194209 98.797302 -63.709589
    Unten rechts KachelX + 1 101508 KachelY + 1 95876 1.72438615 -1.11194209 98.800049 -63.709589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11192086--1.11194209) × R
    2.12300000002053e-05 × 6371000     		dl = 135.256330001308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11192086--1.11194209) × R
    2.12300000002053e-05 × 6371000     		dr = 135.256330001308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.11192086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442940185688116 × 6371000     		do = 135.257114270383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72433822-1.72438615) × cos(-1.11194209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44292115180706 × 6371000     		du = 135.251302045825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11192086)-sin(-1.11194209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442940185688116-0.44292115180706)×R²
    abs(1.72438615-1.72433822)×1.90338810563406e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90338810563406e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90338810563406e-05×40589641000000     		ar = 18293.9878134021m²