Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101506 / 97666
↖ ↑ ↗
← S 65.805028°
E 98.794556°		 ← 125.18 m → S 65.805028°
E 98.797302°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
S 65.806154°
E 98.794556°		 ← 125.17 m →
15 671 m²		 S 65.806154°
E 98.797302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774433135986328 y=0.745136260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774433135986328 × 217)
    floor (0.774433135986328 × 131072)
    floor (101506.5)     		tx = 101506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745136260986328 × 217)
    floor (0.745136260986328 × 131072)
    floor (97666.5)     		ty = 97666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101506 / 97666 ti = "17/101506/97666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101506/97666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101506 ÷ 217
    101506 ÷ 131072     		x = 0.774429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97666 ÷ 217
    97666 ÷ 131072     		y = 0.745132446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    0.548858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72429028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.490264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5402125847924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72429028} λ = 1.72429028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5402125847924))-π/2
    2×atan(0.214335532108879)-π/2
    2×0.21114096343579-π/2
    0.422281926871581-1.57079632675     		φ = -1.14851440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72429028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14851440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.805028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101506 KachelY 97666 1.72429028 -1.14851440 98.794556 -65.805028
    Oben rechts KachelX + 1 101507 KachelY 97666 1.72433822 -1.14851440 98.797302 -65.805028
    Unten links KachelX 101506 KachelY + 1 97667 1.72429028 -1.14853405 98.794556 -65.806154
    Unten rechts KachelX + 1 101507 KachelY + 1 97667 1.72433822 -1.14853405 98.797302 -65.806154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14851440--1.14853405) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14851440--1.14853405) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72429028-1.72433822) × cos(-1.14851440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409842991727713 × 6371000     		do = 125.176599032168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72429028-1.72433822) × cos(-1.14853405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409825067781532 × 6371000     		du = 125.171124597643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14851440)-sin(-1.14853405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409842991727713-0.409825067781532)×R²
    abs(1.72433822-1.72429028)×1.79239461802205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79239461802205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79239461802205e-05×40589641000000     		ar = 15670.534537144m²