Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101506 / 95878
↖ ↑ ↗
← S 63.712022°
E 98.794556°		 ← 135.27 m → S 63.712022°
E 98.797302°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.713238°
E 98.794556°		 ← 135.26 m →
18 295 m²		 S 63.713238°
E 98.797302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774433135986328 y=0.731494903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774433135986328 × 217)
    floor (0.774433135986328 × 131072)
    floor (101506.5)     		tx = 101506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731494903564453 × 217)
    floor (0.731494903564453 × 131072)
    floor (95878.5)     		ty = 95878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101506 / 95878 ti = "17/101506/95878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101506/95878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101506 ÷ 217
    101506 ÷ 131072     		x = 0.774429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95878 ÷ 217
    95878 ÷ 131072     		y = 0.731491088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    0.548858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72429028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731491088867188 × 2 - 1) × π
    -0.462982177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45450140827174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72429028} λ = 1.72429028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45450140827174))-π/2
    2×atan(0.233516764407718)-π/2
    2×0.229405886137401-π/2
    0.458811772274803-1.57079632675     		φ = -1.11198455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72429028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11198455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.712022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101506 KachelY 95878 1.72429028 -1.11198455 98.794556 -63.712022
    Oben rechts KachelX + 1 101507 KachelY 95878 1.72433822 -1.11198455 98.797302 -63.712022
    Unten links KachelX 101506 KachelY + 1 95879 1.72429028 -1.11200578 98.794556 -63.713238
    Unten rechts KachelX + 1 101507 KachelY + 1 95879 1.72433822 -1.11200578 98.797302 -63.713238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11198455--1.11200578) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11198455--1.11200578) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72429028-1.72433822) × cos(-1.11198455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442883083446065 × 6371000     		do = 135.267893494907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72429028-1.72433822) × cos(-1.11200578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442864048966144 × 6371000     		du = 135.262079874792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11198455)-sin(-1.11200578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442883083446065-0.442864048966144)×R²
    abs(1.72433822-1.72429028)×1.90344799211872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90344799211872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90344799211872e-05×40589641000000     		ar = 18295.4456771921m²