Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101505 / 98175
↖ ↑ ↗
← S 66.371654°
E 98.791809°		 ← 122.42 m → S 66.371654°
E 98.794556°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
S 66.372755°
E 98.791809°		 ← 122.41 m →
14 982 m²		 S 66.372755°
E 98.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774425506591797 y=0.749019622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774425506591797 × 217)
    floor (0.774425506591797 × 131072)
    floor (101505.5)     		tx = 101505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749019622802734 × 217)
    floor (0.749019622802734 × 131072)
    floor (98175.5)     		ty = 98175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101505 / 98175 ti = "17/101505/98175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101505/98175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101505 ÷ 217
    101505 ÷ 131072     		x = 0.774421691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98175 ÷ 217
    98175 ÷ 131072     		y = 0.749015808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774421691894531 × 2 - 1) × π
    0.548843383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.72424234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749015808105469 × 2 - 1) × π
    -0.498031616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56461246669901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72424234} λ = 1.72424234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56461246669901))-π/2
    2×atan(0.209169057443887)-π/2
    2×0.206196215599718-π/2
    0.412392431199436-1.57079632675     		φ = -1.15840390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72424234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15840390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.371654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101505 KachelY 98175 1.72424234 -1.15840390 98.791809 -66.371654
    Oben rechts KachelX + 1 101506 KachelY 98175 1.72429028 -1.15840390 98.794556 -66.371654
    Unten links KachelX 101505 KachelY + 1 98176 1.72424234 -1.15842311 98.791809 -66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 101506 KachelY + 1 98176 1.72429028 -1.15842311 98.794556 -66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15840390--1.15842311) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15840390--1.15842311) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72424234-1.72429028) × cos(-1.15840390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400802329561231 × 6371000     		do = 122.415348099882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72424234-1.72429028) × cos(-1.15842311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 122.409972730537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15840390)-sin(-1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400802329561231-0.400784729966169)×R²
    abs(1.72429028-1.72424234)×1.75995950615349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75995950615349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75995950615349e-05×40589641000000     		ar = 14981.7072536145m²