Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101501 / 98732
↖ ↑ ↗
← S 66.977370°
E 98.780822°		 ← 119.45 m → S 66.977370°
E 98.783569°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.978444°
E 98.780822°		 ← 119.45 m →
14 261 m²		 S 66.978444°
E 98.783569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774394989013672 y=0.753269195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774394989013672 × 217)
    floor (0.774394989013672 × 131072)
    floor (101501.5)     		tx = 101501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753269195556641 × 217)
    floor (0.753269195556641 × 131072)
    floor (98732.5)     		ty = 98732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101501 / 98732 ti = "17/101501/98732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101501/98732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101501 ÷ 217
    101501 ÷ 131072     		x = 0.774391174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98732 ÷ 217
    98732 ÷ 131072     		y = 0.753265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774391174316406 × 2 - 1) × π
    0.548782348632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72405059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.50653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59131331978738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72405059} λ = 1.72405059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59131331978738))-π/2
    2×atan(0.203657967982556)-π/2
    2×0.200910349774435-π/2
    0.401820699548869-1.57079632675     		φ = -1.16897563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72405059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.780822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16897563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.977370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101501 KachelY 98732 1.72405059 -1.16897563 98.780822 -66.977370
    Oben rechts KachelX + 1 101502 KachelY 98732 1.72409853 -1.16897563 98.783569 -66.977370
    Unten links KachelX 101501 KachelY + 1 98733 1.72405059 -1.16899437 98.780822 -66.978444
    Unten rechts KachelX + 1 101502 KachelY + 1 98733 1.72409853 -1.16899437 98.783569 -66.978444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16897563--1.16899437) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16897563--1.16899437) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72405059-1.72409853) × cos(-1.16897563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391094668733404 × 6371000     		do = 119.450378607876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72405059-1.72409853) × cos(-1.16899437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391077421297204 × 6371000     		du = 119.445110796912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16897563)-sin(-1.16899437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391094668733404-0.391077421297204)×R²
    abs(1.72409853-1.72405059)×1.72474362001851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72474362001851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72474362001851e-05×40589641000000     		ar = 14261.1696376803m²