Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1015 / 3227
↖ ↑ ↗
← S 71.385142°
W 90.791015°		 ← 3 119.59 m → S 71.385142°
W 90.703125°		 →
↑
3 117.33 m
↓
↑
3 117.33 m
↓
S 71.413177°
W 90.791015°		 ← 3 115.05 m →
9 717 719 m²		 S 71.413177°
W 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2479248046875 y=0.7879638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2479248046875 × 212)
    floor (0.2479248046875 × 4096)
    floor (1015.5)     		tx = 1015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7879638671875 × 212)
    floor (0.7879638671875 × 4096)
    floor (3227.5)     		ty = 3227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1015 / 3227 ti = "12/1015/3227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1015/3227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1015 ÷ 212
    1015 ÷ 4096     		x = 0.247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3227 ÷ 212
    3227 ÷ 4096     		y = 0.787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80856334886548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58460215} λ = -1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80856334886548))-π/2
    2×atan(0.163889419673244)-π/2
    2×0.162445280219812-π/2
    0.324890560439624-1.57079632675     		φ = -1.24590577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24590577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.385142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1015 KachelY 3227 -1.58460215 -1.24590577 -90.791015 -71.385142
    Oben rechts KachelX + 1 1016 KachelY 3227 -1.58306817 -1.24590577 -90.703125 -71.385142
    Unten links KachelX 1015 KachelY + 1 3228 -1.58460215 -1.24639507 -90.791015 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 1016 KachelY + 1 3228 -1.58306817 -1.24639507 -90.703125 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24590577--1.24639507) × R
    0.000489299999999915 × 6371000     		dl = 3117.33029999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24590577--1.24639507) × R
    0.000489299999999915 × 6371000     		dr = 3117.33029999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58460215--1.58306817) × cos(-1.24590577) × R
    0.00153398000000005 × 0.31920507001208 × 6371000     		do = 3119.58686549611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58460215--1.58306817) × cos(-1.24639507) × R
    0.00153398000000005 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 3115.05473298394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24590577)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31920507001208-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.58306817--1.58460215)×0.000463740789477973×R²
    0.00153398000000005×0.000463740789477973×6371000²
    0.00153398000000005×0.000463740789477973×40589641000000     		ar = 9717718.77617077m²