Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1015 / 1082
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
W  1.582031°		 ← 19.241 km → S 10.141932°
W  1.406250°		 →
↑
19.235 km
↓
↑
19.235 km
↓
S 10.314919°
W  1.582031°		 ← 19.230 km →
369.998 km²		 S 10.314919°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495849609375 y=0.528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495849609375 × 211)
    floor (0.495849609375 × 2048)
    floor (1015.5)     		tx = 1015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528564453125 × 211)
    floor (0.528564453125 × 2048)
    floor (1082.5)     		ty = 1082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1015 / 1082 ti = "11/1015/1082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1015/1082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1015 ÷ 211
    1015 ÷ 2048     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1082 ÷ 211
    1082 ÷ 2048     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1015 KachelY 1082 -0.02761165 -0.17701010 -1.582031 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 1016 KachelY 1082 -0.02454369 -0.17701010 -1.406250 -10.141932
    Unten links KachelX 1015 KachelY + 1 1083 -0.02761165 -0.18002930 -1.582031 -10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 1016 KachelY + 1 1083 -0.02454369 -0.18002930 -1.406250 -10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.18002930) × R
    0.0030192 × 6371000     		dl = 19235.3232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.18002930) × R
    0.0030192 × 6371000     		dr = 19235.3232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02454369) × cos(-0.17701010) × R
    0.00306796 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 19240.5590219284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02454369) × cos(-0.18002930) × R
    0.00306796 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 19230.0798749154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.983838446799311)×R²
    abs(-0.02454369--0.02761165)×0.000536128179814743×R²
    0.00306796×0.000536128179814743×6371000²
    0.00306796×0.000536128179814743×40589641000000     		ar = 369997867.507431m²