Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101497 / 97965
↖ ↑ ↗
← S 66.139410°
E 98.769837°		 ← 123.52 m → S 66.139410°
E 98.772583°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.140521°
E 98.769837°		 ← 123.52 m →
15 259 m²		 S 66.140521°
E 98.772583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774364471435547 y=0.747417449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774364471435547 × 217)
    floor (0.774364471435547 × 131072)
    floor (101497.5)     		tx = 101497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747417449951172 × 217)
    floor (0.747417449951172 × 131072)
    floor (97965.5)     		ty = 97965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101497 / 97965 ti = "17/101497/97965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101497/97965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101497 ÷ 217
    101497 ÷ 131072     		x = 0.774360656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97965 ÷ 217
    97965 ÷ 131072     		y = 0.747413635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774360656738281 × 2 - 1) × π
    0.548721313476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72385885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747413635253906 × 2 - 1) × π
    -0.494827270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.5545457177788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72385885} λ = 1.72385885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5545457177788))-π/2
    2×atan(0.211285344017934)-π/2
    2×0.208222929940549-π/2
    0.416445859881099-1.57079632675     		φ = -1.15435047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72385885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.769837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15435047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.139410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101497 KachelY 97965 1.72385885 -1.15435047 98.769837 -66.139410
    Oben rechts KachelX + 1 101498 KachelY 97965 1.72390678 -1.15435047 98.772583 -66.139410
    Unten links KachelX 101497 KachelY + 1 97966 1.72385885 -1.15436986 98.769837 -66.140521
    Unten rechts KachelX + 1 101498 KachelY + 1 97966 1.72390678 -1.15436986 98.772583 -66.140521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15435047--1.15436986) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15435047--1.15436986) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72385885-1.72390678) × cos(-1.15435047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404512635640156 × 6371000     		do = 123.522799579804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72385885-1.72390678) × cos(-1.15436986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404494902780699 × 6371000     		du = 123.517384637842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15435047)-sin(-1.15436986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404512635640156-0.404494902780699)×R²
    abs(1.72390678-1.72385885)×1.77328594574422e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77328594574422e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77328594574422e-05×40589641000000     		ar = 15258.8927678152m²