Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101496 / 97940
↖ ↑ ↗
← S 66.111619°
E 98.767090°		 ← 123.68 m → S 66.111619°
E 98.769837°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
S 66.112731°
E 98.767090°		 ← 123.68 m →
15 302 m²		 S 66.112731°
E 98.769837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774356842041016 y=0.747226715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774356842041016 × 217)
    floor (0.774356842041016 × 131072)
    floor (101496.5)     		tx = 101496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747226715087891 × 217)
    floor (0.747226715087891 × 131072)
    floor (97940.5)     		ty = 97940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101496 / 97940 ti = "17/101496/97940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101496/97940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101496 ÷ 217
    101496 ÷ 131072     		x = 0.77435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97940 ÷ 217
    97940 ÷ 131072     		y = 0.747222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77435302734375 × 2 - 1) × π
    0.5487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72381091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.49444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5533472952883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72381091} λ = 1.72381091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5533472952883))-π/2
    2×atan(0.211538704912492)-π/2
    2×0.208465451329845-π/2
    0.41693090265969-1.57079632675     		φ = -1.15386542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72381091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15386542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.111619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101496 KachelY 97940 1.72381091 -1.15386542 98.767090 -66.111619
    Oben rechts KachelX + 1 101497 KachelY 97940 1.72385885 -1.15386542 98.769837 -66.111619
    Unten links KachelX 101496 KachelY + 1 97941 1.72381091 -1.15388484 98.767090 -66.112731
    Unten rechts KachelX + 1 101497 KachelY + 1 97941 1.72385885 -1.15388484 98.769837 -66.112731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15386542--1.15388484) × R
    1.94199999998812e-05 × 6371000     		dl = 123.724819999243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15386542--1.15388484) × R
    1.94199999998812e-05 × 6371000     		dr = 123.724819999243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72381091-1.72385885) × cos(-1.15386542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404956181982327 × 6371000     		do = 123.684041549446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72381091-1.72385885) × cos(-1.15388484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404938425499044 × 6371000     		du = 123.678618262399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15386542)-sin(-1.15388484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404956181982327-0.404938425499044)×R²
    abs(1.72385885-1.72381091)×1.77564832836152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77564832836152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77564832836152e-05×40589641000000     		ar = 15302.4502802255m²