Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101491 / 98373
↖ ↑ ↗
← S 66.588674°
E 98.753357°		 ← 121.33 m → S 66.588674°
E 98.756103°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.589766°
E 98.753357°		 ← 121.32 m →
14 725 m²		 S 66.589766°
E 98.756103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774318695068359 y=0.750530242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774318695068359 × 217)
    floor (0.774318695068359 × 131072)
    floor (101491.5)     		tx = 101491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750530242919922 × 217)
    floor (0.750530242919922 × 131072)
    floor (98373.5)     		ty = 98373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101491 / 98373 ti = "17/101491/98373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101491/98373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101491 ÷ 217
    101491 ÷ 131072     		x = 0.774314880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98373 ÷ 217
    98373 ÷ 131072     		y = 0.750526428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774314880371094 × 2 - 1) × π
    0.548629760742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72357123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750526428222656 × 2 - 1) × π
    -0.501052856445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57410397282378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72357123} λ = 1.72357123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57410397282378))-π/2
    2×atan(0.207193120198391)-π/2
    2×0.204302357477834-π/2
    0.408604714955668-1.57079632675     		φ = -1.16219161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72357123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.753357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16219161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.588674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101491 KachelY 98373 1.72357123 -1.16219161 98.753357 -66.588674
    Oben rechts KachelX + 1 101492 KachelY 98373 1.72361916 -1.16219161 98.756103 -66.588674
    Unten links KachelX 101491 KachelY + 1 98374 1.72357123 -1.16221066 98.753357 -66.589766
    Unten rechts KachelX + 1 101492 KachelY + 1 98374 1.72361916 -1.16221066 98.756103 -66.589766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16219161--1.16221066) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16219161--1.16221066) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72357123-1.72361916) × cos(-1.16219161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39732929710921 × 6371000     		do = 121.329280743816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72357123-1.72361916) × cos(-1.16221066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397311815307357 × 6371000     		du = 121.323942465314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16219161)-sin(-1.16221066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39732929710921-0.397311815307357)×R²
    abs(1.72361916-1.72357123)×1.74818018531808e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74818018531808e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74818018531808e-05×40589641000000     		ar = 14725.1136005572m²