Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101488 / 97423
↖ ↑ ↗
← S 65.530033°
E 98.745117°		 ← 126.49 m → S 65.530033°
E 98.747864°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.531171°
E 98.745117°		 ← 126.48 m →
16 004 m²		 S 65.531171°
E 98.747864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774295806884766 y=0.743282318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774295806884766 × 217)
    floor (0.774295806884766 × 131072)
    floor (101488.5)     		tx = 101488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743282318115234 × 217)
    floor (0.743282318115234 × 131072)
    floor (97423.5)     		ty = 97423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101488 / 97423 ti = "17/101488/97423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101488/97423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101488 ÷ 217
    101488 ÷ 131072     		x = 0.7742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97423 ÷ 217
    97423 ÷ 131072     		y = 0.743278503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    0.548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72342742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743278503417969 × 2 - 1) × π
    -0.486557006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52856391818473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72342742} λ = 1.72342742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52856391818473))-π/2
    2×atan(0.216846853641227)-π/2
    2×0.213540743216792-π/2
    0.427081486433584-1.57079632675     		φ = -1.14371484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72342742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14371484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.530033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101488 KachelY 97423 1.72342742 -1.14371484 98.745117 -65.530033
    Oben rechts KachelX + 1 101489 KachelY 97423 1.72347535 -1.14371484 98.747864 -65.530033
    Unten links KachelX 101488 KachelY + 1 97424 1.72342742 -1.14373470 98.745117 -65.531171
    Unten rechts KachelX + 1 101489 KachelY + 1 97424 1.72347535 -1.14373470 98.747864 -65.531171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14371484--1.14373470) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14371484--1.14373470) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72342742-1.72347535) × cos(-1.14371484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414216202258819 × 6371000     		do = 126.485900380721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72342742-1.72347535) × cos(-1.14373470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414198126031731 × 6371000     		du = 126.480380587323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14371484)-sin(-1.14373470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414216202258819-0.414198126031731)×R²
    abs(1.72347535-1.72342742)×1.80762270883261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80762270883261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80762270883261e-05×40589641000000     		ar = 16003.666388685m²