Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101486 / 97230
↖ ↑ ↗
← S 65.309535°
E 98.739624°		 ← 127.58 m → S 65.309535°
E 98.742371°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.310682°
E 98.739624°		 ← 127.58 m →
16 280 m²		 S 65.310682°
E 98.742371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774280548095703 y=0.741809844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774280548095703 × 217)
    floor (0.774280548095703 × 131072)
    floor (101486.5)     		tx = 101486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741809844970703 × 217)
    floor (0.741809844970703 × 131072)
    floor (97230.5)     		ty = 97230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101486 / 97230 ti = "17/101486/97230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101486/97230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101486 ÷ 217
    101486 ÷ 131072     		x = 0.774276733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97230 ÷ 217
    97230 ÷ 131072     		y = 0.741806030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774276733398438 × 2 - 1) × π
    0.548553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72333154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741806030273438 × 2 - 1) × π
    -0.483612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51931209655806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72333154} λ = 1.72333154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51931209655806))-π/2
    2×atan(0.218862391372362)-π/2
    2×0.215464956048723-π/2
    0.430929912097446-1.57079632675     		φ = -1.13986641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72333154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.739624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13986641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.309535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101486 KachelY 97230 1.72333154 -1.13986641 98.739624 -65.309535
    Oben rechts KachelX + 1 101487 KachelY 97230 1.72337948 -1.13986641 98.742371 -65.309535
    Unten links KachelX 101486 KachelY + 1 97231 1.72333154 -1.13988644 98.739624 -65.310682
    Unten rechts KachelX + 1 101487 KachelY + 1 97231 1.72337948 -1.13988644 98.742371 -65.310682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13986641--1.13988644) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13986641--1.13988644) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72333154-1.72337948) × cos(-1.13986641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417715884580487 × 6371000     		do = 127.581183157666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72333154-1.72337948) × cos(-1.13988644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417697685685332 × 6371000     		du = 127.575624746646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13986641)-sin(-1.13988644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417715884580487-0.417697685685332)×R²
    abs(1.72337948-1.72333154)×1.81988951549195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81988951549195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81988951549195e-05×40589641000000     		ar = 16280.4242925143m²