Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101481 / 97167
↖ ↑ ↗
← S 65.237156°
E 98.725891°		 ← 127.90 m → S 65.237156°
E 98.728637°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.238307°
E 98.725891°		 ← 127.90 m →
16 362 m²		 S 65.238307°
E 98.728637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774242401123047 y=0.741329193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774242401123047 × 217)
    floor (0.774242401123047 × 131072)
    floor (101481.5)     		tx = 101481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741329193115234 × 217)
    floor (0.741329193115234 × 131072)
    floor (97167.5)     		ty = 97167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101481 / 97167 ti = "17/101481/97167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101481/97167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101481 ÷ 217
    101481 ÷ 131072     		x = 0.774238586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97167 ÷ 217
    97167 ÷ 131072     		y = 0.741325378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774238586425781 × 2 - 1) × π
    0.548477172851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72309186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741325378417969 × 2 - 1) × π
    -0.482650756835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.516292071882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72309186} λ = 1.72309186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.516292071882))-π/2
    2×atan(0.219524360273049)-π/2
    2×0.216096578180383-π/2
    0.432193156360766-1.57079632675     		φ = -1.13860317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72309186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.725891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13860317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.237156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101481 KachelY 97167 1.72309186 -1.13860317 98.725891 -65.237156
    Oben rechts KachelX + 1 101482 KachelY 97167 1.72313979 -1.13860317 98.728637 -65.237156
    Unten links KachelX 101481 KachelY + 1 97168 1.72309186 -1.13862325 98.725891 -65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 101482 KachelY + 1 97168 1.72313979 -1.13862325 98.728637 -65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13860317--1.13862325) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13860317--1.13862325) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72309186-1.72313979) × cos(-1.13860317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418863302680644 × 6371000     		do = 127.904948399144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72309186-1.72313979) × cos(-1.13862325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 127.899380515096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13860317)-sin(-1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418863302680644-0.41884506896623)×R²
    abs(1.72313979-1.72309186)×1.82337144137845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82337144137845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82337144137845e-05×40589641000000     		ar = 16362.482970801m²