Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101480 / 97448
↖ ↑ ↗
← S 65.558460°
E 98.723145°		 ← 126.37 m → S 65.558460°
E 98.725891°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.559596°
E 98.723145°		 ← 126.37 m →
15 965 m²		 S 65.559596°
E 98.725891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774234771728516 y=0.743473052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774234771728516 × 217)
    floor (0.774234771728516 × 131072)
    floor (101480.5)     		tx = 101480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743473052978516 × 217)
    floor (0.743473052978516 × 131072)
    floor (97448.5)     		ty = 97448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101480 / 97448 ti = "17/101480/97448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101480/97448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101480 ÷ 217
    101480 ÷ 131072     		x = 0.77423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97448 ÷ 217
    97448 ÷ 131072     		y = 0.74346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72304392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52976234067523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72304392} λ = 1.72304392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52976234067523))-π/2
    2×atan(0.216587135152153)-π/2
    2×0.213292675538845-π/2
    0.426585351077691-1.57079632675     		φ = -1.14421098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72304392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.723145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14421098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.558460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101480 KachelY 97448 1.72304392 -1.14421098 98.723145 -65.558460
    Oben rechts KachelX + 1 101481 KachelY 97448 1.72309186 -1.14421098 98.725891 -65.558460
    Unten links KachelX 101480 KachelY + 1 97449 1.72304392 -1.14423081 98.723145 -65.559596
    Unten rechts KachelX + 1 101481 KachelY + 1 97449 1.72309186 -1.14423081 98.725891 -65.559596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14421098--1.14423081) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14421098--1.14423081) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72304392-1.72309186) × cos(-1.14421098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413764575325891 × 6371000     		do = 126.374351604613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72304392-1.72309186) × cos(-1.14423081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413746522331468 × 6371000     		du = 126.368837755432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14421098)-sin(-1.14423081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413764575325891-0.413746522331468)×R²
    abs(1.72309186-1.72304392)×1.80529944237007e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80529944237007e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80529944237007e-05×40589641000000     		ar = 15965.3993115076m²