Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101469 / 98395
↖ ↑ ↗
← S 66.612671°
E 98.692932°		 ← 121.24 m → S 66.612671°
E 98.695679°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.613762°
E 98.692932°		 ← 121.23 m →
14 698 m²		 S 66.613762°
E 98.695679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774150848388672 y=0.750698089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774150848388672 × 217)
    floor (0.774150848388672 × 131072)
    floor (101469.5)     		tx = 101469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750698089599609 × 217)
    floor (0.750698089599609 × 131072)
    floor (98395.5)     		ty = 98395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101469 / 98395 ti = "17/101469/98395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101469/98395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101469 ÷ 217
    101469 ÷ 131072     		x = 0.774147033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98395 ÷ 217
    98395 ÷ 131072     		y = 0.750694274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774147033691406 × 2 - 1) × π
    0.548294067382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72251661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750694274902344 × 2 - 1) × π
    -0.501388549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57515858461543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72251661} λ = 1.72251661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57515858461543))-π/2
    2×atan(0.206974727070908)-π/2
    2×0.204092944754231-π/2
    0.408185889508463-1.57079632675     		φ = -1.16261044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72251661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.692932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16261044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.612671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101469 KachelY 98395 1.72251661 -1.16261044 98.692932 -66.612671
    Oben rechts KachelX + 1 101470 KachelY 98395 1.72256455 -1.16261044 98.695679 -66.612671
    Unten links KachelX 101469 KachelY + 1 98396 1.72251661 -1.16262947 98.692932 -66.613762
    Unten rechts KachelX + 1 101470 KachelY + 1 98396 1.72256455 -1.16262947 98.695679 -66.613762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16261044--1.16262947) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16261044--1.16262947) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.16261044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396944911988842 × 6371000     		do = 121.237193483347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.16262947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396927445375416 × 6371000     		du = 121.231858730016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16261044)-sin(-1.16262947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396944911988842-0.396927445375416)×R²
    abs(1.72256455-1.72251661)×1.74666134261092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74666134261092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74666134261092e-05×40589641000000     		ar = 14698.489706119m²