Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101469 / 97698
↖ ↑ ↗
← S 65.841024°
E 98.692932°		 ← 125 m → S 65.841024°
E 98.695679°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.842148°
E 98.692932°		 ← 125 m →
15 625 m²		 S 65.842148°
E 98.695679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774150848388672 y=0.745380401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774150848388672 × 217)
    floor (0.774150848388672 × 131072)
    floor (101469.5)     		tx = 101469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745380401611328 × 217)
    floor (0.745380401611328 × 131072)
    floor (97698.5)     		ty = 97698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101469 / 97698 ti = "17/101469/97698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101469/97698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101469 ÷ 217
    101469 ÷ 131072     		x = 0.774147033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97698 ÷ 217
    97698 ÷ 131072     		y = 0.745376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774147033691406 × 2 - 1) × π
    0.548294067382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72251661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745376586914062 × 2 - 1) × π
    -0.490753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54174656558025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72251661} λ = 1.72251661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54174656558025))-π/2
    2×atan(0.214006997567732)-π/2
    2×0.210826837637109-π/2
    0.421653675274217-1.57079632675     		φ = -1.14914265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72251661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.692932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14914265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.841024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101469 KachelY 97698 1.72251661 -1.14914265 98.692932 -65.841024
    Oben rechts KachelX + 1 101470 KachelY 97698 1.72256455 -1.14914265 98.695679 -65.841024
    Unten links KachelX 101469 KachelY + 1 97699 1.72251661 -1.14916227 98.692932 -65.842148
    Unten rechts KachelX + 1 101470 KachelY + 1 97699 1.72256455 -1.14916227 98.695679 -65.842148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14914265--1.14916227) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14914265--1.14916227) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.14914265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409269848823332 × 6371000     		do = 125.001546436472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.14916227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409251947193885 × 6371000     		du = 124.996078818051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14914265)-sin(-1.14916227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409269848823332-0.409251947193885)×R²
    abs(1.72256455-1.72251661)×1.79016294470369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79016294470369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79016294470369e-05×40589641000000     		ar = 15624.7290800788m²