Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101469 / 97208
↖ ↑ ↗
← S 65.284283°
E 98.692932°		 ← 127.70 m → S 65.284283°
E 98.695679°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
S 65.285431°
E 98.692932°		 ← 127.70 m →
16 304 m²		 S 65.285431°
E 98.695679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774150848388672 y=0.741641998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774150848388672 × 217)
    floor (0.774150848388672 × 131072)
    floor (101469.5)     		tx = 101469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741641998291016 × 217)
    floor (0.741641998291016 × 131072)
    floor (97208.5)     		ty = 97208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101469 / 97208 ti = "17/101469/97208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101469/97208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101469 ÷ 217
    101469 ÷ 131072     		x = 0.774147033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97208 ÷ 217
    97208 ÷ 131072     		y = 0.74163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774147033691406 × 2 - 1) × π
    0.548294067382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72251661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.4832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51825748476642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72251661} λ = 1.72251661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51825748476642))-π/2
    2×atan(0.219093327983883)-π/2
    2×0.215685325649918-π/2
    0.431370651299837-1.57079632675     		φ = -1.13942568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72251661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.692932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13942568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.284283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101469 KachelY 97208 1.72251661 -1.13942568 98.692932 -65.284283
    Oben rechts KachelX + 1 101470 KachelY 97208 1.72256455 -1.13942568 98.695679 -65.284283
    Unten links KachelX 101469 KachelY + 1 97209 1.72251661 -1.13944572 98.692932 -65.285431
    Unten rechts KachelX + 1 101470 KachelY + 1 97209 1.72256455 -1.13944572 98.695679 -65.285431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13942568--1.13944572) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dl = 127.674840000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13942568--1.13944572) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dr = 127.674840000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.13942568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418116281448753 × 6371000     		do = 127.70347466745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72251661-1.72256455) × cos(-1.13944572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418098077158787 × 6371000     		du = 127.697914608716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13942568)-sin(-1.13944572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418116281448753-0.418098077158787)×R²
    abs(1.72256455-1.72251661)×1.82042899655177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82042899655177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82042899655177e-05×40589641000000     		ar = 16304.1657563486m²