Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101468 / 97260
↖ ↑ ↗
← S 65.343931°
E 98.690186°		 ← 127.39 m → S 65.343931°
E 98.692932°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
S 65.345077°
E 98.690186°		 ← 127.38 m →
16 231 m²		 S 65.345077°
E 98.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774143218994141 y=0.742038726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774143218994141 × 217)
    floor (0.774143218994141 × 131072)
    floor (101468.5)     		tx = 101468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742038726806641 × 217)
    floor (0.742038726806641 × 131072)
    floor (97260.5)     		ty = 97260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101468 / 97260 ti = "17/101468/97260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101468/97260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101468 ÷ 217
    101468 ÷ 131072     		x = 0.774139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97260 ÷ 217
    97260 ÷ 131072     		y = 0.742034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774139404296875 × 2 - 1) × π
    0.54827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72246868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.48406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52075020354666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72246868} λ = 1.72246868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52075020354666))-π/2
    2×atan(0.21854787004965)-π/2
    2×0.215164792147983-π/2
    0.430329584295966-1.57079632675     		φ = -1.14046674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72246868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14046674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.343931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101468 KachelY 97260 1.72246868 -1.14046674 98.690186 -65.343931
    Oben rechts KachelX + 1 101469 KachelY 97260 1.72251661 -1.14046674 98.692932 -65.343931
    Unten links KachelX 101468 KachelY + 1 97261 1.72246868 -1.14048674 98.690186 -65.345077
    Unten rechts KachelX + 1 101469 KachelY + 1 97261 1.72251661 -1.14048674 98.692932 -65.345077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14046674--1.14048674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14046674--1.14048674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72246868-1.72251661) × cos(-1.14046674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417170362890086 × 6371000     		do = 127.387988868031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72246868-1.72251661) × cos(-1.14048674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417152186240549 × 6371000     		du = 127.38243840943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14046674)-sin(-1.14048674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417170362890086-0.417152186240549)×R²
    abs(1.72251661-1.72246868)×1.81766495369051e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81766495369051e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81766495369051e-05×40589641000000     		ar = 16231.423922402m²