Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101467 / 97299
↖ ↑ ↗
← S 65.388579°
E 98.687439°		 ← 127.20 m → S 65.388579°
E 98.690186°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.389723°
E 98.687439°		 ← 127.19 m →
16 175 m²		 S 65.389723°
E 98.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774135589599609 y=0.742336273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774135589599609 × 217)
    floor (0.774135589599609 × 131072)
    floor (101467.5)     		tx = 101467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742336273193359 × 217)
    floor (0.742336273193359 × 131072)
    floor (97299.5)     		ty = 97299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101467 / 97299 ti = "17/101467/97299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101467/97299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101467 ÷ 217
    101467 ÷ 131072     		x = 0.774131774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97299 ÷ 217
    97299 ÷ 131072     		y = 0.742332458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774131774902344 × 2 - 1) × π
    0.548263549804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72242074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742332458496094 × 2 - 1) × π
    -0.484664916992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52261974263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72242074} λ = 1.72242074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52261974263184))-π/2
    2×atan(0.218139667958386)-π/2
    2×0.214775165139707-π/2
    0.429550330279413-1.57079632675     		φ = -1.14124600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72242074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.687439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14124600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.388579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101467 KachelY 97299 1.72242074 -1.14124600 98.687439 -65.388579
    Oben rechts KachelX + 1 101468 KachelY 97299 1.72246868 -1.14124600 98.690186 -65.388579
    Unten links KachelX 101467 KachelY + 1 97300 1.72242074 -1.14126596 98.687439 -65.389723
    Unten rechts KachelX + 1 101468 KachelY + 1 97300 1.72246868 -1.14126596 98.690186 -65.389723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14124600--1.14126596) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dl = 127.165159999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14124600--1.14126596) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dr = 127.165159999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72242074-1.72246868) × cos(-1.14124600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416462022754114 × 6371000     		do = 127.198221481489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72242074-1.72246868) × cos(-1.14126596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416443875975012 × 6371000     		du = 127.192678988053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14124600)-sin(-1.14126596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416462022754114-0.416443875975012)×R²
    abs(1.72246868-1.72242074)×1.81467791017798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81467791017798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81467791017798e-05×40589641000000     		ar = 16174.8297807617m²