Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101466 / 97710
↖ ↑ ↗
← S 65.854510°
E 98.684692°		 ← 124.94 m → S 65.854510°
E 98.687439°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.855633°
E 98.684692°		 ← 124.93 m →
15 609 m²		 S 65.855633°
E 98.687439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774127960205078 y=0.745471954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774127960205078 × 217)
    floor (0.774127960205078 × 131072)
    floor (101466.5)     		tx = 101466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745471954345703 × 217)
    floor (0.745471954345703 × 131072)
    floor (97710.5)     		ty = 97710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101466 / 97710 ti = "17/101466/97710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101466/97710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101466 ÷ 217
    101466 ÷ 131072     		x = 0.774124145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97710 ÷ 217
    97710 ÷ 131072     		y = 0.745468139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774124145507812 × 2 - 1) × π
    0.548248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72237280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745468139648438 × 2 - 1) × π
    -0.490936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54232180837569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72237280} λ = 1.72237280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54232180837569))-π/2
    2×atan(0.213883926985334)-π/2
    2×0.210709153759068-π/2
    0.421418307518135-1.57079632675     		φ = -1.14937802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72237280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.684692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14937802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.854510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101466 KachelY 97710 1.72237280 -1.14937802 98.684692 -65.854510
    Oben rechts KachelX + 1 101467 KachelY 97710 1.72242074 -1.14937802 98.687439 -65.854510
    Unten links KachelX 101466 KachelY + 1 97711 1.72237280 -1.14939763 98.684692 -65.855633
    Unten rechts KachelX + 1 101467 KachelY + 1 97711 1.72242074 -1.14939763 98.687439 -65.855633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14937802--1.14939763) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14937802--1.14939763) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72237280-1.72242074) × cos(-1.14937802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409055082749572 × 6371000     		do = 124.935951349467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72237280-1.72242074) × cos(-1.14939763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409037188355848 × 6371000     		du = 124.930485941022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14937802)-sin(-1.14939763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409055082749572-0.409037188355848)×R²
    abs(1.72242074-1.72237280)×1.78943937242937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78943937242937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78943937242937e-05×40589641000000     		ar = 15608.5704012487m²